Bom, acabei montando um blog para publicar umas tosqueiras, algumas brincadeiras, meu lado B, material diferente do q eu costumo publicar por aqui, pois eu não vivo só de desenho, matemática e filosofias. Falo, penso – e faço – muita besteira tb. Chama-se PiadaDesenhada, mas pela falta de paciência, tempo ou necessidade de não perder a piada, rolam tb umas intervenções em fotos, o q chamei de “piadas clicadas”. Experimentem, por conta e risco.
Há alguns posts atrás comentei q estava lendo um livro sobre roteiros chamado Manual do Roteiro, de Syd Field. Além dele, comecei um outro, a Jornada do Escritor, de Christopher Vogler, bem mais raro q o primeiro, mas confesso q o livro de Field me cativou mais. E por quê? Talvez pela linguagem mais direta, pelas “lições” mais objetivas, sem rodeios. E apesar de o título soar como manual de instruções, daqueles q evitamos ler quando compramos um eletrônico novo, descobri um livro fascinante. Ele, como a grande parte dos livros, não vai me ensinar o que escrever nem como escrever. Em um dos diversos ensinamentos mais “psicológicos”, o autor comenta sobre programas de informática que ajudam a escrever:
No fim das contas, é você quem vai estar encarando a tela vazia do computador. A maioria de nós tem a tendência de procurar ajuda fora de nós mesmos, seja sob a forma e um professor, um livro, um curso, uma ferramenta ou qualquer outro tipo de recurso. É importante investigar e explorar alguns, simplesmente para aperfeiçoar suas habilidades como escritor. Mas a verdade é que tudo o que você precisa, todos os recursos que você procura para ajudá-lo e guiá-lo estão dentro de você.
Programas para escrever roteiros vão ajudá-lo a escrever, mas não vão dizer o que escrever ou como escrever. Não importa que guia você procure, que ajuda você consiga, é em você que tudo sempre termina.
Porque você é seu próprio professor.
Sensacional, não?
Vamos, finalmente, ao terceiro e último post da nossa “trilogia” matemática…
No século XVII, nasceu, na França, um dos homens que abalaria para sempre a história da matemática. Seu nome era Pierre de Fermat e, para surpresa inicial, Fermat voltou-se para o serviço público como ocupação principal. Registros indicam que ele fora um funcionário eficiente, todavia, procurava não chamar a atenção para si mesmo. Esta postura o livrava dos olhares alheios, bem como sobrava-lhe tempo e energia para seu grande hobby: a matemática. Na época em que viveu, a ciência dos números procurava se recuperar após a atrofia sofrida naIdade Média e os matemáticos daquela época eram considerados amadores, porém Fermat haveria de se destacar e ganharia mais tarde o título de “Príncipe dos Amadores”. Embora tímido e retraído, Fermat era genioso e gostava de provocar os colegas, bem como tinha o hábito de enunciar um problema e depois esconder a solução. Esta postura, se por um lado o protegia das críticas dos invejosos, por outro lado não o dispensava de ser considerado um fanfarrão. As cartas trocadas com matemáticos da época revelam que Fermat conhecia bem o assunto e passaria longe de um charlatão. Embora tenha se destacado em áreas como a probabilidade e o cálculo, foi num terreno considerado inútil que ele devotava mais paixão: a teroria dos números, a forma mais pura e antiga da matemática.
Na época em que viveu, tanto o ensino como a bibliografia da matéria eram escassos e Fermat acabou conhecendo praticamente toda a teoria da matemática a partir de uma cópia da Aritmética, de Diofante. Este livro continha mais de cem problemas com solução detalhada, coisa que Fermat nunca fazia com os seus. O máximo que deixava eram notas nas bordas do livro, os únicos registros dos cálculos do gênio. Enquanto estudava o Livro II da Aritmética, Fermat encontrou bastante coisa sobre o Teorema de Pitágoras e trios pitagóricos. Ele ficou fascinado com a quantidade de respostas que atendiam perfeitamente à equação do teorema: x2+y2 = z2. Começou então a brincar com o teorema e ao invés de elevar os termos da adição ao quadrado, substituiu o 2 pelo expoente 3. A equação foi assim escrita: x3+y3 = z3. Pelo método da tentativa e erro percebe-se que aparentemente não há soluções que atendam ao problema. Poderia esta alteração levar de um conjunto respostas infinito (quando n=1 e n=2) a um conjunto vazio (com n=3)? Substituiu Fermat o 3 por outras potências e mais uma vez parecia não haver trio que se encaixasse na resposta. Na borda do seu volume de Aritmética, Fermat sentenciaria afirmando que não poderia haver soluções nos números inteiros que satisfizessem a equação xn+yn = zn, quando n>2. Se havia infinitos trios pitagóricos, não se achava um único trio “fermatiano”, isto é, o que se apresentava infinito agora era impossível de ser encontrado.
Para aguçar o mistério, ele ainda escreveu:
“Eu tenho uma demonstração realmente maravilhosa para esta proposição, mas esta margem é muito estreita para contê-la”
E deu-se por satisfeito. Numa mistura de indolência e modéstia, Fermat levou para o túmulo seu segredo e jamais revelou a ninguém sua prova.
Por mais de trezentos anos, o Último Teorema de Fermat passou pelas mãos dos mais renomados matemáticos que o mundo já conheceu. Aqueles que conseguiram avançar na demonstração, apenas contribuíram parcialmente, colocando peças num imenso quebra-cabeças aparentemente insolúvel. Fermat não testemunhou o avanço na ciência dos números em três séculos que se seguiram após o enunciado do problema e mesmo assim parecia que todo o conhecimento gerado se rendia ao gênio do “maldito francês”. As demonstrações para n=3 e n=4, por exemplo, não são fáceis. Todos que conseguiram acrescentar algo também usaram uma argumentação voltada ao entendimento de poucos.
Em 1963, um jovem de 10 anos, chamado Andrew Wiles, tomou conhecimento do problema e aquele encontro selaria para sempre seu destino. Por 30 anos debruçou-se o inglês sobre mais de 2.000 anos de conhecimento matemático e em 23 de junho de 1993, na cidade de Cambridge, para uma platéia de 200 matemáticos, Wiles parecia ter vencido afinal a guerra, e provava que Fermat estava certo. Após a apresentação de sua demonstração, um erro foi detectado na argumentação, levando Wiles a trabalhar – sob forte pressão da sociedade matemática – por mais dois anos, até que, finalmente, na primavera de 1995 ele consertara seu argumento e provara ao mundo que Fermat estava correto.
Tudo isso eu pude conhecer relendo o livro O Último Teorema de Fermat, de Simon Singh. Existe um documentário – que pode ser visto na internet também -, mas o livro é, disparado, mais rico e mais profundo, uma boa pedida para aqueles que gostam do tema.
Uma modificação num brush do photoshop e dá pra conseguir resultados bem bacanas… imagine…
Há poucos dias, Catarina Chagas, ligada ao blog Explorador Mirim, entrou em contato comigo para saber mais sobre o livro Ombros de Gigantes, q ilustrei em 2009. Após alguns emails, ela me convidou para participar de uma seção no blog com pessoas ligadas à divulgação científica. E hj, 20 de janeiro, foi ao ar uma entrevista em q falo um pouco sobre meu trabalho e a experiência de fazer um livro sobre ciência. Valeu pela força, Catarina! Clique aqui para conferir a entrevista.
Tava voltando pra casa hj e a imagem de um homem com cabeça em chamas me veio à mente. Resolvi então brincar com alguns lápis de cor q eu nunca usei, canetas novas q eu comprei e lápis 2B. Foi um bom exercício. Acredito q boa parte desta fase de experimentação e brincadeira se deve ao fato de eu estar em um ambiente com bastante gente talentosa. O meio influencia o homem? Acho q estou sentindo isso em primeira pessoa e constatando q a melhor coisa para se desenvolver qq habilidade é conviver com pessoas na mesma sintonia.
O ano novo chegou e com ele vem aquela preguiça de retomar certas atividades q a gente interrompe quando o ano passado acaba. Uma delas foi voltar às sessões de modelo vivo. Não pratiquei nada no último mês – dezembro – pois o trabalho apertou e precisava de todo o tempo disponível para cumprir os prazos. Na segunda-feira passada era para retornarmos aos encontros de desenho, mas eu havia chegado de viagem. E ontem, meio q não tava a fim. Pra minha sorte, foi um bom dia. Modelo inédita, caderno novo, alguns materiais novos e o bom e velho 6B tb à mão. Pra mim desennho de modelo vivo é meio loteria: tem dia q acerto mais q erro, na verdade, tem dia q tou mais inspirado, mais relaxado. E cada dia é um dia diferente. Cobrar-se demais não ajuda, mas ainda faz parte do meu processo. E para dar um tempo na matemática, aí vão alguns dos desenhos q selecionei. Basicamente são das poses de 5 min e 10 min.
No post anterior vimos uma simples adição cujos elementos foram elevados à potência unitária. Pois bem, desta vez, vamos tomar a adição 1+2 e elevar suas parcelas ao quadrado, isto é, 12+22. Agora teremos, após efetuarmos as potenciações, 1+4 e, finalizada a soma, 5. Pergunta-se: existe número inteiro que, elevado ao quadrado, resulte 5? Se o nosso conjunto universo compreendesse os números irracionais, sim, seria a raiz quadrada de 5, pois este número elevado ao quadrado resulta no número 5. Mas não é o nosso caso, pois ele não é inteiro, e sim, irracional. Portanto, se escrevermos o seguinte problema: x2+y2 = z2, sendo x=1 e y=2, não obtemos um número inteiro z que satisfaça à equação. Continuamos com uma simples adição, mas ao complicarmos um pouco seus elementos, chegamos à conclusão que a operação vai-se tornando mais trabalhosa.
Vamos experimentar com x=3 e y=4 para ver o que acontece. 32 e 42 resultam, respectivamente, 9 e 16. Quando somados, perfazem 25. Novamente perguntamos: existe número inteiro que, elevado ao quadrado, resulte 25. Neste caso a resposta é positiva, o número 5. Então, para esta situação, se x e y forem elevados ao quadrado, existe um número z, inteiro, que, elevado à potência 2, responde à nossa pergunta. O leitor atento deve ter percebido que a expressão x2+y2 = z2 é velha conhecida desde os tempos ginasiais. Basta nos recordarmos que “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”, isto é, estamos falando do próprio Teorema de Pitágoras. Os números 3, 4 e 5 são considerados um trio pitagórico. Outro exemplo de trio pitagórico é formado pelos números 5, 12 e 13. Veja: 52+122 = 132, isto é, 25+144=169.
Aqui chegamos à conclusão de que não é assim tão fácil encontrar 3 números que satisfaçam à equação x2+y2 = z2, como era tranquilo achar 3 números que respondessem à equação x1+y1 = z1. É difícil, todavia, não impossível nem tampouco finito, ou seja, o conjunto formado por trios pitagóricos também não tem fim, mas é mais trabalhoso encontrar seus elementos. O próximo trio pitagórico (depois de 3, 4 e 5 e 5, 12 e 13), será 7, 24 e 25. Vamos às curiosidades? Reparem que, dispostos da forma como apresentei, os 2 últimos números de cada trio são consecutivos (4 e 5, 12 e 13, 24 e 25) e que os primeiros números dos trios são ímpares (3, 5 e 7). Euclides, um dos maiores estudiosos da Matemática, debruçou-se sobre o trabalho de Pitágoras e constatou que o conjunto de trios pitagóricos é infinito. Ele observou que a diferença entre dois quadrados sucessivos é sempre um número ímpar. Por exemplo, a diferença entre 16 e 25 (quadrados de 4 e 5, respectivamente) é 9. Entre 49 e 64 – quadrados de 7 e 8 – a diferença é 15. Para obtermos um trio pitagórico, basta encontrar um número ímpar resultante da subtração de dois quadrados que também seja quadrado! Reparem que realmente a subtração entre 16 e 25 resulta um quadrado perfeito e ímpar, isto é, 9, mas o mesmo não acontece com a diferença entre 49 e 64, pois 15, embora ímpar, não é quadrado perfeito. É muito fácil tomar 2 números consecutivos e elevá-los ao quadrado. Subtrair os resultados das potenciações obtidas também não oferece sacrifícios. Difícil é encontrar facilmente um número que satisfaça, ao mesmo tempo, a condição de ser ímpar e quadrado perfeito. Seguindo esta linha de raciocínio, o próximo trio pitagórico teria como primeiro elemento o número 9 (número ímpar da sequência 3, 5, 7). Entretanto a Matemática se mostra como um corpo orgânico, difícil de ser reduzido, domado facilmente. Não haveria trio em que o menor dos números seja par? De fato existe e é formado pelos números 8, 15 e 17. Este terno encontra ressonância num outro, formado por 12, 35 e 37 e muitos outros, ou seja, nestes casos, o menor dos números é par, todavia também é formado por 2 números ímpares (como no caso visto anteriormente). Existe uma regra para se encontrar ternos pitagóricos nos dois casos, mas este não é o objeto do nosso trabalho.
No último post da série vamos esquentar a discussão, elevando os elementos da nossa equação original x+y=z ao cubo e outras potências e veremos que as coisas começam a ficar “exponencialmente” mais complicadas. Até mais!
Este vai ser um post grande falando sobre uma das minhas “cachaças”, Matemática. Se vc não curte o assunto, volte mais tarde, pois vou falar sobre isso em 3 partes. Minha intenção é mostrar e comentar como uma coisa aparentemente simples pode, alterando-se alguns elementos, tornar-se algo atormentador, intrigante, complexo.
Desde cedo aprendemos que a soma de 2 números (e daqui por diante sempre farei referência ao conjunto dos números inteiros, ou seja, não vou desconsiderar os números fracionários e os irracionais, como a razão 1/3 ou a raiz quadrada de 2, por exemplo) resulta um terceiro número. Exemplo: 1+2=3. Vimos também que um número, quando multiplicado por ele mesmo n vezes, caracteriza uma operação chamada exponenciação ou potenciação. Assim, a operação 4×4 pode ser expressa na forma 42, onde 4 é chamado de base e 2, expoente. O resultado desta potência é 16 e particularmente dizemos que todo número elevado a 2 é elevado ao quadrado. Da mesma forma, 3×3x3 pode ser escrito na forma 33. O resultado será 27 e aqui existe mais uma particularidade, pois quando um número é elevado ao expoente 3, diz-se que este número foi elevado ao cubo. Mas e se um número for elevado a um expoente unitário, isto é, elevado ao número 1? Neste caso temos como resultado o próprio número. De fato, todo número em estado natural é uma potência de expoente 1. Assim, os números 14, 23 ou 459 são potências de expoente 1, isto é, 141, 231, 4591, que resultam neles mesmos. Nesta situação singular não há a necessidade de escrever o expoente. Agora voltemos à pequena adição citada no começo do texto: 1+2. Usando o que já vimos sobre potenciação, vamos elevar as parcelas da soma ao expoente 1: 11+21. Efetuando a operação, chegamos ao resultado 3 e aí podemos fazer a pergunta: existe um número que, elevado à potência 1 resulte no número 3? Sim, ele próprio, pois todo número em estado natural é uma potência de expoente unitário. Vamos a mais um exemplo: tomemos os números 3 e 4. Elevemo-los à potência unitária: 31+41. Façamos os cálculos e obteremos 7 como resposta, certo? Novamente nos questionamos: existe número inteiro que, elevado ao número 1, resulte 7? Sim, o próprio número 7. Isto nos leva a crer que sempre haverá solução para o seguinte arranjo: x1+y1 = z1, onde x, y e z são números distintos e inteiros. Parece bobo, não é? Passamos a vida toda fazendo somas desta natureza e não percebemos a “encrenca” que uma despretenciosa adição pode nos levar. No próximo post vamos complicar as coisas e notar familiaridades nesta equação. Até lá!
