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No post anterior vimos uma simples adição cujos elementos foram elevados à potência unitária. Pois bem, desta vez, vamos tomar a adição 1+2 e elevar suas parcelas ao quadrado, isto é, 1²+2². Agora teremos, após efetuarmos as potenciações, 1+4 e, finalizada a soma, 5. Pergunta-se: existe número inteiro que, elevado ao quadrado, resulte 5? Se o nosso conjunto universo compreendesse os números irracionais, sim, seria a raiz quadrada de 5, pois este número elevado ao quadrado resulta no número 5. Mas não é o nosso caso, pois ele não é inteiro, e sim, irracional. Portanto, se escrevermos o seguinte problema: x²+y² = z², sendo x=1 e y=2, não obtemos um número inteiro z que satisfaça à equação. Continuamos com uma simples adição, mas ao complicarmos um pouco seus elementos, chegamos à conclusão que a operação vai-se tornando mais trabalhosa.

Vamos experimentar com x=3 e y=4 para ver o que acontece. 3² e 4² resultam, respectivamente, 9 e 16. Quando somados, perfazem 25. Novamente perguntamos: existe número inteiro que, elevado ao quadrado, resulte 25. Neste caso a resposta é positiva, o número 5. Então, para esta situação, se x e y forem elevados ao quadrado, existe um número z, inteiro, que, elevado à potência 2, responde à nossa pergunta. O leitor atento deve ter percebido que a expressão x²+y² = z² é velha conhecida desde os tempos ginasiais. Basta nos recordarmos que “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”, isto é, estamos falando do próprio Teorema de Pitágoras. Os números 3, 4 e 5 são considerados um trio pitagórico. Outro exemplo de trio pitagórico é formado pelos números 5, 12 e 13. Veja: 5²+12² = 13², isto é, 25+144=169.

Aqui chegamos à conclusão de que não é assim tão fácil encontrar 3 números que satisfaçam à equação x²+y² = z², como era tranquilo achar 3 números que respondessem à equação x¹+y¹ = z¹. É difícil, todavia, não impossível nem tampouco finito, ou seja, o conjunto formado por trios pitagóricos também não tem fim, mas é mais trabalhoso encontrar seus elementos. O próximo trio pitagórico (depois de 3, 4 e 5 e 5, 12 e 13), será 7, 24 e 25. Vamos às curiosidades? Reparem que, dispostos da forma como apresentei, os 2 últimos números de cada trio são consecutivos (4 e 5, 12 e 13, 24 e 25) e que os primeiros números dos trios são ímpares (3, 5 e 7). Euclides, um dos maiores estudiosos da Matemática, debruçou-se sobre o trabalho de Pitágoras e constatou que o conjunto de trios pitagóricos é infinito. Ele observou que a diferença entre dois quadrados sucessivos é sempre um número ímpar. Por exemplo, a diferença entre 16 e 25 (quadrados de 4 e 5, respectivamente) é 9. Entre 49 e 64 – quadrados de 7 e 8 – a diferença é 15. Para obtermos um trio pitagórico, basta encontrar um número ímpar resultante da subtração de dois quadrados que também seja quadrado! Reparem que realmente a subtração entre 16 e 25 resulta um quadrado perfeito e ímpar, isto é, 9, mas o mesmo não acontece com a diferença entre 49 e 64, pois 15, embora ímpar, não é quadrado perfeito. É muito fácil tomar 2 números consecutivos e elevá-los ao quadrado. Subtrair os resultados das potenciações obtidas também não oferece sacrifícios. Difícil é encontrar facilmente um número que satisfaça, ao mesmo tempo, a condição de ser ímpar e quadrado perfeito. Seguindo esta linha de raciocínio, o próximo trio pitagórico teria como primeiro elemento o número 9 (número ímpar da sequência 3, 5, 7). Entretanto a Matemática se mostra como um corpo orgânico, difícil de ser reduzido, domado facilmente. Não haveria trio em que o menor dos números seja par? De fato existe e é formado pelos números 8, 15 e 17. Este terno encontra ressonância num outro, formado por 12, 35 e 37 e muitos outros, ou seja, nestes casos, o menor dos números é par, todavia também é formado por 2 números ímpares (como no caso visto anteriormente). Existe uma regra para se encontrar ternos pitagóricos nos dois casos, mas este não é o objeto do nosso trabalho.

No último post da série vamos esquentar a discussão, elevando os elementos da nossa equação original x+y=z ao cubo e outras potências e veremos que as coisas começam a ficar “exponencialmente” mais complicadas. Até mais!