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Gosto de escrever, gosto de desenhar e gosto de matemática, não necessariamente nesta ordem. Neste mesmo blog, publiquei uma brincadeira rimada com o Teorema de Pitágoras. Desta vez queria fazer algo diferente dos cartuns matemáticos q venho fazendo há algum tempo. Após conhecer mais uma curiosidade da matéria, acabei escrevendo 2 textos rimados para um mesmo tema: um jogo matemático de inversões e algumas operações aritméticas q sempre resulta um cabalístico número: 1089. Misturei os 2 e transformei num quadrinho.

Para elucidar o q deve ser feito para se chegar ao misterioso número, eis um “passo-a-passo” desenhado:

Experimente ler de trás pra frente, ou da direita pra esquerda…

O q achou? A mesma coisa, não? Só certas pessoas possuem o “dom” de identificar construções dessa natureza. Levam o nome de palíndromos. Quando ainda era um estudante de desenho industrial, assisti a uma palestra de um artista chamado Guto Lacaz. Na ocasião, ele distribuiu um livreto bancado por um patrocinador em q publicou diversas notas fiscais cujos totais eram palíndromos numéricos, por exemplo 59,95. Ou ainda 71,17. Ele batizou a ocorrência de contas anacíclicas. Desde então eu me pego com os mesmos sintomas. Já comentei com colegas de trabalho, amigos, transmiti a “dom”ença para eles e tal. Não sei qtos deles ainda sofrem do mal, mas é melhor fazer isso do q ser psicopata. Hoje saí com o Kico, animador e storyboarder, para tomar uma cerveja e qual não foi a minha surpresa ao me deparar com a conta na hora de pagar… tava lá: 41,14!

Mesmo Chico Buarque criou um palíndromo: até Reagan sibarita tira bisnaga ereta (fui pesquisar a palavra sibarita e o vocábulo existe mesmo!). Existe outro fenômeno q não é um palíndromo, mas q revela uma curiosidade. Experimente ler de trás pra frente:

ATÉ CUBANOS ROMA.

No post anterior vimos uma simples adição cujos elementos foram elevados à potência unitária. Pois bem, desta vez, vamos tomar a adição 1+2 e elevar suas parcelas ao quadrado, isto é, 1²+2². Agora teremos, após efetuarmos as potenciações, 1+4 e, finalizada a soma, 5. Pergunta-se: existe número inteiro que, elevado ao quadrado, resulte 5? Se o nosso conjunto universo compreendesse os números irracionais, sim, seria a raiz quadrada de 5, pois este número elevado ao quadrado resulta no número 5. Mas não é o nosso caso, pois ele não é inteiro, e sim, irracional. Portanto, se escrevermos o seguinte problema: x²+y² = z², sendo x=1 e y=2, não obtemos um número inteiro z que satisfaça à equação. Continuamos com uma simples adição, mas ao complicarmos um pouco seus elementos, chegamos à conclusão que a operação vai-se tornando mais trabalhosa.

Vamos experimentar com x=3 e y=4 para ver o que acontece. 3² e 4² resultam, respectivamente, 9 e 16. Quando somados, perfazem 25. Novamente perguntamos: existe número inteiro que, elevado ao quadrado, resulte 25. Neste caso a resposta é positiva, o número 5. Então, para esta situação, se x e y forem elevados ao quadrado, existe um número z, inteiro, que, elevado à potência 2, responde à nossa pergunta. O leitor atento deve ter percebido que a expressão x²+y² = z² é velha conhecida desde os tempos ginasiais. Basta nos recordarmos que “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”, isto é, estamos falando do próprio Teorema de Pitágoras. Os números 3, 4 e 5 são considerados um trio pitagórico. Outro exemplo de trio pitagórico é formado pelos números 5, 12 e 13. Veja: 5²+12² = 13², isto é, 25+144=169.

Aqui chegamos à conclusão de que não é assim tão fácil encontrar 3 números que satisfaçam à equação x²+y² = z², como era tranquilo achar 3 números que respondessem à equação x¹+y¹ = z¹. É difícil, todavia, não impossível nem tampouco finito, ou seja, o conjunto formado por trios pitagóricos também não tem fim, mas é mais trabalhoso encontrar seus elementos. O próximo trio pitagórico (depois de 3, 4 e 5 e 5, 12 e 13), será 7, 24 e 25. Vamos às curiosidades? Reparem que, dispostos da forma como apresentei, os 2 últimos números de cada trio são consecutivos (4 e 5, 12 e 13, 24 e 25) e que os primeiros números dos trios são ímpares (3, 5 e 7). Euclides, um dos maiores estudiosos da Matemática, debruçou-se sobre o trabalho de Pitágoras e constatou que o conjunto de trios pitagóricos é infinito. Ele observou que a diferença entre dois quadrados sucessivos é sempre um número ímpar. Por exemplo, a diferença entre 16 e 25 (quadrados de 4 e 5, respectivamente) é 9. Entre 49 e 64 – quadrados de 7 e 8 – a diferença é 15. Para obtermos um trio pitagórico, basta encontrar um número ímpar resultante da subtração de dois quadrados que também seja quadrado! Reparem que realmente a subtração entre 16 e 25 resulta um quadrado perfeito e ímpar, isto é, 9, mas o mesmo não acontece com a diferença entre 49 e 64, pois 15, embora ímpar, não é quadrado perfeito. É muito fácil tomar 2 números consecutivos e elevá-los ao quadrado. Subtrair os resultados das potenciações obtidas também não oferece sacrifícios. Difícil é encontrar facilmente um número que satisfaça, ao mesmo tempo, a condição de ser ímpar e quadrado perfeito. Seguindo esta linha de raciocínio, o próximo trio pitagórico teria como primeiro elemento o número 9 (número ímpar da sequência 3, 5, 7). Entretanto a Matemática se mostra como um corpo orgânico, difícil de ser reduzido, domado facilmente. Não haveria trio em que o menor dos números seja par? De fato existe e é formado pelos números 8, 15 e 17. Este terno encontra ressonância num outro, formado por 12, 35 e 37 e muitos outros, ou seja, nestes casos, o menor dos números é par, todavia também é formado por 2 números ímpares (como no caso visto anteriormente). Existe uma regra para se encontrar ternos pitagóricos nos dois casos, mas este não é o objeto do nosso trabalho.

No último post da série vamos esquentar a discussão, elevando os elementos da nossa equação original x+y=z ao cubo e outras potências e veremos que as coisas começam a ficar “exponencialmente” mais complicadas. Até mais!

Este vai ser um post grande falando sobre uma das minhas “cachaças”, Matemática. Se vc não curte o assunto, volte mais tarde, pois vou falar sobre isso em 3 partes. Minha intenção é mostrar e comentar como uma coisa aparentemente simples pode, alterando-se alguns elementos, tornar-se algo atormentador, intrigante, complexo.

Desde cedo aprendemos que a soma de 2 números (e daqui por diante sempre farei referência ao conjunto dos números inteiros, ou seja, não vou desconsiderar os números fracionários e os irracionais, como a razão 1/3 ou a raiz quadrada de 2, por exemplo) resulta um terceiro número. Exemplo: 1+2=3. Vimos também que um número, quando multiplicado por ele mesmo n vezes, caracteriza uma operação chamada exponenciação ou potenciação. Assim, a operação 4×4 pode ser expressa na forma 4², onde 4 é chamado de base e 2, expoente. O resultado desta potência é 16 e particularmente dizemos que todo número elevado a 2 é elevado ao quadrado. Da mesma forma, 3x3x3 pode ser escrito na forma 3³. O resultado será 27 e aqui existe mais uma particularidade, pois quando um número é elevado ao expoente 3, diz-se que este número foi elevado ao cubo. Mas e se um número for elevado a um expoente unitário, isto é, elevado ao número 1? Neste caso temos como resultado o próprio número. De fato, todo número em estado natural é uma potência de expoente 1. Assim, os números 14, 23 ou 459 são potências de expoente 1, isto é, 14¹, 23¹, 459¹, que resultam neles mesmos. Nesta situação singular não há a necessidade de escrever o expoente. Agora voltemos à pequena adição citada no começo do texto: 1+2. Usando o que já vimos sobre potenciação, vamos elevar as parcelas da soma ao expoente 1: 1¹+2¹. Efetuando a operação, chegamos ao resultado 3 e aí podemos fazer a pergunta: existe um número que, elevado à potência 1 resulte no número 3? Sim, ele próprio, pois todo número em estado natural é uma potência de expoente unitário. Vamos a mais um exemplo: tomemos os números 3 e 4. Elevemo-los à potência unitária: 3¹+4¹. Façamos os cálculos e obteremos 7 como resposta, certo? Novamente nos questionamos: existe número inteiro que, elevado ao número 1, resulte 7? Sim, o próprio número 7. Isto nos leva a crer que sempre haverá solução para o seguinte arranjo: x¹+y¹ = z¹, onde x, y e z são números distintos e inteiros. Parece bobo, não é? Passamos a vida toda fazendo somas desta natureza e não percebemos a “encrenca” que uma despretenciosa adição pode nos levar. No próximo post vamos complicar as coisas e notar familiaridades nesta equação. Até lá!