Sim, é possível. A amizade numérica, como toda boa amizade, é um acontecimento raro. Diz-se que dois números são considerados amigos quando a soma dos divisores de um (excetuando o próprio número) tem como resultado o outro e vice-versa. O caso mais comum de amizade numérica envolve os números 220 e 284. A descoberta deste par de números é atribuída aos pitagóricos, ou seja, Grécia antiga. Isto é tão simbólico que até a bíblia faz menção a um deles, quando Jacó deu 220 cabras para Esaú.
Até 1636 não havia sido descoberto outro par amigável, amizade não é coisa fácil! E foi outra polêmica personalidade, Pierre Fermat, que descobriu no século XVII mais um par, o 17.296 e o 18.416 (há quem diga tratar-se de uma redescoberta, pois o árabe al-Banna (1256 – 1321) já havia encontrado este par de números no fim do século XIII). O terceiro par é atribuído a Descartes, os “pequenos” 9.363.584 e 9.437.056. Leonhard Euler estendeu a lista para 62 pares (e nem me perguntem qual o maior par encontrado até agora). O mais interessante é que todos eles deixaram passar um par bem menor, cuja descoberta é atribuída a um italiano de 16 anos, chamado Nicolò Paganini. O par em questão é formado por 1.184 e 1.210.

Mesmo tendo passado o dia, mas aproveitando a energia da semana, segue mais um cartum matemático, homenageando este que é um dos mais valiosos tesouros não apenas restrito ao universo dos humanos, mas que encontra eco também no mundo dos números: a amizade!

No século XVII, nasceu, na França, um dos homens que abalaria para sempre a história da matemática. Seu nome era Pierre de Fermat e, para surpresa inicial, Fermat voltou-se para o serviço público como ocupação principal. Registros indicam que ele fora um funcionário eficiente, todavia, procurava não chamar a atenção para si mesmo. Esta postura o livrava dos olhares alheios, bem como sobrava-lhe tempo e energia para seu grande hobby: a matemática. Na época em que viveu, a ciência dos números procurava se recuperar após a atrofia sofrida na Idade Média e os matemáticos daquela época eram não eram considerados “profissionais”, porém Fermat haveria de se destacar e ganharia mais tarde o título de “Príncipe dos Amadores”. Embora tímido e retraído, Fermat era genioso e gostava de provocar os colegas, bem como tinha o hábito de enunciar um problema e depois esconder a solução. Esta postura, se por um lado o protegia das críticas dos invejosos, por outro lado não o dispensava de ser considerado um fanfarrão. As cartas trocadas com matemáticos da época revelam que Fermat conhecia bem o assunto e passaria longe de um charlatão. Embora tenha se destacado em áreas como a probabilidade e o cálculo, foi num terreno considerado inútil que ele devotava mais paixão: a teroria dos números, a forma mais pura e antiga da matemática.
Na época em que viveu, tanto o ensino como a bibliografia da matéria eram escassos e Fermat acabou conhecendo praticamente toda a teoria da matemática a partir de uma cópia da Aritmética, de Diofante. Este livro continha mais de cem problemas com solução detalhada, coisa que Fermat nunca fazia com os seus. O máximo que deixava eram notas nas bordas do livro, os únicos registros dos cálculos do gênio. Enquanto estudava o Livro II da Aritmética, Fermat encontrou bastante coisa sobre o Teorema de Pitágoras e trios pitagóricos. Ele ficou fascinado com a quantidade de respostas que atendiam perfeitamente à equação do teorema: x²+y² = z_². Começou então a brincar com o teorema e ao invés de elevar os termos da adição ao quadrado, substituiu o 2 pelo expoente 3. A equação foi assim escrita: x³+y³ = z³. Pelo método da tentativa e erro percebe-se que aparentemente não há soluções que atendam ao problema. Poderia esta alteração levar de um conjunto respostas infinito (quando n=1 e n=2) a um conjunto vazio (com n=3)? Substituiu Fermat o 3 por outras potências e mais uma vez parecia não haver trio que se encaixasse na resposta. Na borda do seu volume de Aritmética, Fermat sentenciaria afirmando que não poderia haver soluções nos números inteiros que satisfizessem a equação xⁿ+yⁿ = zⁿ, quando n>2. Se havia infinitos trios pitagóricos, não se achava um único trio “fermatiano”, isto é, o que se apresentava infinito agora era impossível de ser encontrado.

Para aguçar o mistério, ele ainda escreveu:

“Eu tenho uma demonstração realmente maravilhosa para esta proposição, mas esta margem é muito estreita para contê-la.”

E deu-se por satisfeito. Numa mistura de indolência e modéstia, Fermat levou para o túmulo seu segredo e jamais revelou a ninguém sua prova.
Por mais de trezentos anos, o Último Teorema de Fermat passou pelas mãos dos mais renomados matemáticos que o mundo já conheceu. Aqueles que conseguiram avançar na demonstração, apenas contribuíram parcialmente, colocando peças num imenso quebra-cabeças aparentemente insolúvel. Fermat não testemunhou o avanço na ciência dos números em três séculos que se seguiram após o enunciado do problema e mesmo assim parecia que todo o conhecimento gerado se rendia ao gênio do “maldito francês”. As demonstrações para n=3 e n=4, por exemplo, não são fáceis. Todos que conseguiram acrescentar algo também usaram uma argumentação voltada ao entendimento de poucos.
Em 1963, um jovem de 10 anos, chamado Andrew Wiles, tomou conhecimento do problema e aquele encontro selaria para sempre seu destino. Por 30 anos debruçou-se o inglês sobre mais de 2.000 anos de conhecimento matemático e em 23 de junho de 1993, na cidade de Cambridge, para uma platéia de 200 matemáticos, Wiles parecia ter vencido afinal a guerra, e provava que Fermat estava certo. Após a apresentação de sua demonstração, algumas lacunas foram detectadas na sua argumentação, levando Wiles a trabalhar – sob forte pressão da sociedade matemática – por mais alguns meses, até que, finalmente, na primavera de 1994 ele consertara seu argumento e provara ao mundo que Fermat estava correto.
Tudo isso eu pude conhecer relendo o livro O Último Teorema de Fermat, de Simon Singh. Existe um documentário – que pode ser visto na internet também -, mas o livro é, disparado, mais rico e mais profundo, uma boa pedida para aqueles que gostam do tema.

Vamos experimentar com x=3 e y=4 para ver o que acontece. 3² e 4² resultam, respectivamente, 9 e 16. Quando somados, perfazem 25. Novamente perguntamos: existe número inteiro que, elevado ao quadrado, resulte 25. Neste caso a resposta é positiva, o número 5. Então, para esta situação, se x e y forem elevados ao quadrado, existe um número z, inteiro, que, elevado à potência 2, responde à nossa pergunta. O leitor atento deve ter percebido que a expressão x²+y² = z² é velha conhecida desde os tempos ginasiais. Basta nos recordarmos que “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”, isto é, estamos falando do próprio Teorema de Pitágoras. Os números 3, 4 e 5 são considerados um trio pitagórico. Outro exemplo de trio pitagórico é formado pelos números 5, 12 e 13. Veja: 5²+12² = 13², isto é, 25+144=169.

Aqui chegamos à conclusão de que não é assim tão fácil encontrar 3 números que satisfaçam à equação x²+y² = z², como era tranquilo achar 3 números que respondessem à equação x¹+y¹ = z¹. É difícil, todavia, não impossível nem tampouco finito, ou seja, o conjunto formado por trios pitagóricos também não tem fim, mas é mais trabalhoso encontrar seus elementos. O próximo trio pitagórico (depois de 3, 4 e 5 e 5, 12 e 13), será 7, 24 e 25. Vamos às curiosidades? Reparem que, dispostos da forma como apresentei, os 2 últimos números de cada trio são consecutivos (4 e 5, 12 e 13, 24 e 25) e que os primeiros números dos trios são ímpares (3, 5 e 7). Euclides, um dos maiores estudiosos da Matemática, debruçou-se sobre o trabalho de Pitágoras e constatou que o conjunto de trios pitagóricos é infinito. Ele observou que a diferença entre dois quadrados sucessivos é sempre um número ímpar. Por exemplo, a diferença entre 16 e 25 (quadrados de 4 e 5, respectivamente) é 9. Entre 49 e 64 – quadrados de 7 e 8 – a diferença é 15. Para obtermos um trio pitagórico, basta encontrar um número ímpar resultante da subtração de dois quadrados que também seja quadrado! Reparem que realmente a subtração entre 16 e 25 resulta um quadrado perfeito e ímpar, isto é, 9, mas o mesmo não acontece com a diferença entre 49 e 64, pois 15, embora ímpar, não é quadrado perfeito. É muito fácil tomar 2 números consecutivos e elevá-los ao quadrado. Subtrair os resultados das potenciações obtidas também não oferece sacrifícios. Difícil é encontrar facilmente um número que satisfaça, ao mesmo tempo, a condição de ser ímpar e quadrado perfeito. Seguindo esta linha de raciocínio, o próximo trio pitagórico teria como primeiro elemento o número 9 (número ímpar da sequência 3, 5, 7). Entretanto a Matemática se mostra como um corpo orgânico, difícil de ser reduzido, domado facilmente. Não haveria trio em que o menor dos números seja par? De fato existe e é formado pelos números 8, 15 e 17. Este terno encontra ressonância num outro, formado por 12, 35 e 37 e muitos outros, ou seja, nestes casos, o menor dos números é par, todavia também é formado por 2 números ímpares (como no caso visto anteriormente). Existe uma regra para se encontrar ternos pitagóricos nos dois casos, mas este não é o objeto do nosso trabalho.

No último post da série vamos esquentar a discussão, elevando os elementos da nossa equação original x+y=z ao cubo e outras potências e veremos que as coisas começam a ficar “exponencialmente” mais complicadas. Até mais!

Desde cedo aprendemos que a soma de 2 números (e daqui por diante sempre farei referência ao conjunto dos números inteiros, ou seja, não vou desconsiderar os números fracionários e os irracionais, como a razão 1/3 ou a raiz quadrada de 2, por exemplo) resulta um terceiro número. Exemplo: 1+2=3. Vimos também que um número, quando multiplicado por ele mesmo n vezes, caracteriza uma operação chamada exponenciação ou potenciação. Assim, a operação 4×4 pode ser expressa na forma 4², onde 4 é chamado de base e 2, expoente. O resultado desta potência é 16 e particularmente dizemos que todo número elevado a 2 é elevado ao quadrado. Da mesma forma, 3x3x3 pode ser escrito na forma 3³. O resultado será 27 e aqui existe mais uma particularidade, pois quando um número é elevado ao expoente 3, diz-se que este número foi elevado ao cubo. Mas e se um número for elevado a um expoente unitário, isto é, elevado ao número 1? Neste caso temos como resultado o próprio número. De fato, todo número em estado natural é uma potência de expoente 1. Assim, os números 14, 23 ou 459 são potências de expoente 1, isto é, 14¹, 23¹, 459¹, que resultam neles mesmos. Nesta situação singular não há a necessidade de escrever o expoente. Agora voltemos à pequena adição citada no começo do texto: 1+2. Usando o que já vimos sobre potenciação, vamos elevar as parcelas da soma ao expoente 1: 1¹+2¹. Efetuando a operação, chegamos ao resultado 3 e aí podemos fazer a pergunta: existe um número que, elevado à potência 1 resulte no número 3? Sim, ele próprio, pois todo número em estado natural é uma potência de expoente unitário. Vamos a mais um exemplo: tomemos os números 3 e 4. Elevemo-los à potência unitária: 3¹+4¹. Façamos os cálculos e obteremos 7 como resposta, certo? Novamente nos questionamos: existe número inteiro que, elevado ao número 1, resulte 7? Sim, o próprio número 7. Isto nos leva a crer que sempre haverá solução para o seguinte arranjo: x¹+y¹ = z¹, onde x, y e z são números distintos e inteiros. Parece bobo, não é? Passamos a vida toda fazendo somas desta natureza e não percebemos a “encrenca” que uma despretenciosa adição pode nos levar. No próximo post vamos complicar as coisas e notar familiaridades nesta equação. Até lá!