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Para quem acredita, apenas Deus é perfeito. Nós podemos atingir uma perfeição relativa, todavia  já adianto que não é fácil…
Mas… e entre os números? Haveria espaço para a perfeição? Existe um número… perfeito?
A primeira vez em que ouvi falar de números perfeitos foi no livro  O Último Teorema de Fermat. E a ideia surgiu no tempo de Pitágoras. Para o matemático grego, um número é considerado perfeito se a soma dos seus divisores, excetuando o próprio número, resultar o número original. Por exemplo, os divisores de 10 são: 1, 2, 5 e 10. Somando-se 1+2+5 temos 8, que é menor do que 10. Neste caso diz-se que 10 é um “número deficiente”. Se a soma, todavia, exceder o número, como acontece com o 12 (1+2+3+4+6=16), tem-se um “número excessivo”. Agora tomemos o 6. A soma de seus divisores será 1+2+3=6. Neste caso tem-se um “número perfeito” de acordo com o conceito pitagórico. Este acontecimento é raro e não poderia deixar de ser, afinal de contas a perfeição não é para todos! O segundo número perfeito é o 28. O terceiro é 496, o quarto é 8.128, o quinto é 33.550.336 e o sexto é o 8.589.869.056! E para ilustrar a questão da perfeição numérica, eis mais um cartum matemático.

Da bagagem q trouxe de Salvador destaco um pequeno livro sobre um dos pensadores mais curiosos da humanidade: Pitágoras. Sua vida é envolta em mistério e muita polêmica ainda existe acerca de seus feitos, sua vida, seu legado. Quando li O último teorema de Fermat, vi uma demonstração para o clássico teorema do matemático de Samos q não exige nada além da matemática q aprendemos na escola – coisa rara, pois praticamente nos empurram teoremas e fórmulas goela abaixo, pois as demonstrações são complicadíssimas. Mas isto não ocorre com o o teorema de Pitágoras. Neste pequeno livro, Pitágoras e seu teorema, no apêndice tá lá a mesma figura q vi em O último… e trata-se de um demonstração chinesa q foi desenvolvida longe do convívio dos gregos, isto é, os chineses chegaram a provar o teorema de Pitágoras independentemente. Eu acabei fazendo uma brincadeira com tudo isso:

No post anterior vimos uma simples adição cujos elementos foram elevados à potência unitária. Pois bem, desta vez, vamos tomar a adição 1+2 e elevar suas parcelas ao quadrado, isto é, 1²+2². Agora teremos, após efetuarmos as potenciações, 1+4 e, finalizada a soma, 5. Pergunta-se: existe número inteiro que, elevado ao quadrado, resulte 5? Se o nosso conjunto universo compreendesse os números irracionais, sim, seria a raiz quadrada de 5, pois este número elevado ao quadrado resulta no número 5. Mas não é o nosso caso, pois ele não é inteiro, e sim, irracional. Portanto, se escrevermos o seguinte problema: x²+y² = z², sendo x=1 e y=2, não obtemos um número inteiro z que satisfaça à equação. Continuamos com uma simples adição, mas ao complicarmos um pouco seus elementos, chegamos à conclusão que a operação vai-se tornando mais trabalhosa.

Vamos experimentar com x=3 e y=4 para ver o que acontece. 3² e 4² resultam, respectivamente, 9 e 16. Quando somados, perfazem 25. Novamente perguntamos: existe número inteiro que, elevado ao quadrado, resulte 25. Neste caso a resposta é positiva, o número 5. Então, para esta situação, se x e y forem elevados ao quadrado, existe um número z, inteiro, que, elevado à potência 2, responde à nossa pergunta. O leitor atento deve ter percebido que a expressão x²+y² = z² é velha conhecida desde os tempos ginasiais. Basta nos recordarmos que “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”, isto é, estamos falando do próprio Teorema de Pitágoras. Os números 3, 4 e 5 são considerados um trio pitagórico. Outro exemplo de trio pitagórico é formado pelos números 5, 12 e 13. Veja: 5²+12² = 13², isto é, 25+144=169.

Aqui chegamos à conclusão de que não é assim tão fácil encontrar 3 números que satisfaçam à equação x²+y² = z², como era tranquilo achar 3 números que respondessem à equação x¹+y¹ = z¹. É difícil, todavia, não impossível nem tampouco finito, ou seja, o conjunto formado por trios pitagóricos também não tem fim, mas é mais trabalhoso encontrar seus elementos. O próximo trio pitagórico (depois de 3, 4 e 5 e 5, 12 e 13), será 7, 24 e 25. Vamos às curiosidades? Reparem que, dispostos da forma como apresentei, os 2 últimos números de cada trio são consecutivos (4 e 5, 12 e 13, 24 e 25) e que os primeiros números dos trios são ímpares (3, 5 e 7). Euclides, um dos maiores estudiosos da Matemática, debruçou-se sobre o trabalho de Pitágoras e constatou que o conjunto de trios pitagóricos é infinito. Ele observou que a diferença entre dois quadrados sucessivos é sempre um número ímpar. Por exemplo, a diferença entre 16 e 25 (quadrados de 4 e 5, respectivamente) é 9. Entre 49 e 64 – quadrados de 7 e 8 – a diferença é 15. Para obtermos um trio pitagórico, basta encontrar um número ímpar resultante da subtração de dois quadrados que também seja quadrado! Reparem que realmente a subtração entre 16 e 25 resulta um quadrado perfeito e ímpar, isto é, 9, mas o mesmo não acontece com a diferença entre 49 e 64, pois 15, embora ímpar, não é quadrado perfeito. É muito fácil tomar 2 números consecutivos e elevá-los ao quadrado. Subtrair os resultados das potenciações obtidas também não oferece sacrifícios. Difícil é encontrar facilmente um número que satisfaça, ao mesmo tempo, a condição de ser ímpar e quadrado perfeito. Seguindo esta linha de raciocínio, o próximo trio pitagórico teria como primeiro elemento o número 9 (número ímpar da sequência 3, 5, 7). Entretanto a Matemática se mostra como um corpo orgânico, difícil de ser reduzido, domado facilmente. Não haveria trio em que o menor dos números seja par? De fato existe e é formado pelos números 8, 15 e 17. Este terno encontra ressonância num outro, formado por 12, 35 e 37 e muitos outros, ou seja, nestes casos, o menor dos números é par, todavia também é formado por 2 números ímpares (como no caso visto anteriormente). Existe uma regra para se encontrar ternos pitagóricos nos dois casos, mas este não é o objeto do nosso trabalho.

No último post da série vamos esquentar a discussão, elevando os elementos da nossa equação original x+y=z ao cubo e outras potências e veremos que as coisas começam a ficar “exponencialmente” mais complicadas. Até mais!